Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）²+y²=25．
（I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；
（II）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），α為直線l的傾斜角，l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{10}$，求l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，能求出C的極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R），設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ₁，ρ₂，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ²+12ρcosα+11=0，由此利用|AB|=$\sqrt{10}$，能求出l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為（x+6）²+y²=25，
∴x²+y²+12x+11=0，
以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴C的極坐標(biāo)方程為ρ²+12ρcosθ+11=0．
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），α為直線l的傾斜角，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ∈R），
設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ₁，ρ₂，
將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ²+12ρcosα+11=0，
∴ρ₁+ρ₂=-12cosα，ρ₁ρ₂=11，
|AB|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{144co{s}^{2}α-44}$，
由|AB|=$\sqrt{10}$，得cos²$α=\frac{3}{8}$，tanα=±$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴l(xiāng)的斜率為$\frac{\sqrt{15}}{3}$或-$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．