Question

已知拋物線C：與橢圓共焦點(diǎn)，

（Ⅰ）求的值和拋物線C的準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）若P為拋物線C上位于軸下方的一點(diǎn)，直線是拋物線C在點(diǎn)P處的切線，問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且使？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在滿足條件的直線.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞�C：與橢圓共焦點(diǎn)，

所以拋物線C：的焦點(diǎn)為（1,0）       （1分）

所以得                                  （3分）

拋物線C的準(zhǔn)線方程為                        （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線C：

因?yàn)?P為拋物線C上位于軸下方的一點(diǎn)，

所以點(diǎn)P滿足 ，                  

所以點(diǎn)處的切線的斜率為 

所以平行于的直線方程可設(shè)為             （6分）

解方程組，消去得：，（7分）

因?yàn)橹本�與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，

所以即， （8分）

設(shè)，則

， （10分）

所以線段AB的中點(diǎn)為，

線段AB的中垂線方程為    （12分）

由知點(diǎn)P在線段AB的中垂線上

所以   ，               （13分）

又得代人上式得 ，（14分）

而 且，所以無解.

從而不存在滿足條件的直線.                            （15分）

考點(diǎn)：橢圓、拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，簡單不等式解法。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求拋物線準(zhǔn)線方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓、拋物線的定義及幾何性質(zhì)。（2）作為研究直線與拋物線相交時(shí)弦長的范圍問題，應(yīng)用韋達(dá)定理，建立了k的不等式，進(jìn)一步使問題得解。