Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c有兩個(gè)零點(diǎn)0和3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

x

f(x)

，試判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求出即可；（Ⅱ）先求出g（x）的解析式，通過(guò)定義證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）將（0，0），（3，0）代入函數(shù)的解析式，
得：c=0，b=-3，
∴f（x）=x²-3x；
（Ⅱ）∵g（x）=

x

x2-3x

=

1

x-3

∴g（x）在（0，3）遞減，
證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂＜3，
∴g（x₁）-g（x₂）=

1

x1-3

-

1

x2-3

=

x2-x1

(x1-3)(x2-3)

，
∵x₂＞x₁，
（x₁-3）（x₂-3）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在（0，3）遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法，考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．