Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N*），則a₂₀₁₃的值為（　�。�

• A、4026
• B、4025
• C、4024
• D、4023

Answer 1

考點：數(shù)列的概念及簡單表示法,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．令x=y=0，則f（0）f（0）=f（0），解得f（0）=0或1．令y=-x＞0，則f（x）f（-x）=f（0），利用當x＜0時，f（x）＞1，可知f（0）≠0，否則推出矛盾．于是f（x）f（-x）=1．由于f（a_n+1）=

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f(-2-an)

（n∈N^*），可得f（a_n+1）=f（2+a_n），再利用單調(diào)性即可得出，a_n+1=2+a_n，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答： 解：對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．
令x=y=0，則f（0）f（0）=f（0），解得f（0）=0或1．
令y=-x＞0，則f（x）f（-x）=f（0），
∵當x＜0時，f（x）＞1，∴f（0）≠0，否則推出矛盾．
例如取x=-2，y=1，則f（-2）f（1）=f（-1）＞0．
∴f（x）f（-x）=1．
∵當x＜0時，f（x）＞1，
∴當x＞0時，f（x）=

1

f(-x)

＞0，
令x₁＜x₂，
則f（x₁-x₂）=f（x₁）f（-x₂）=

f(x1)

f(x2)

＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）為R上的減函數(shù)，
∵f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），∴f（a_n+1）=f（2+a_n），
∴a_n+1=2+a_n，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=f（0）=1，公差d=2．
∴a₂₀₁₃=1+2（2013-1）=4025．
故選：B．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．