Question

已知雙曲線，直線l過點A（a，0）和B（0，b），且原點到直線l的距離為（c為半焦距），則雙曲線的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出直線l的方程，利用原點到直線l的距離為及c²=a²+b²，建立關系式化簡得關于離心率e的方程，求出離心率的平方e²，進而求出離心率．
解答：解：根據題意，得直線l的方程為bx-ay-ab=0，
∵c²=a²+b²
∴原點到直線l的距離為=，
平方去分母得16a²b²=3c⁴，
∴16a²（c²-a²）=3c⁴，即16a²c²-16a⁴=3c⁴，
兩邊都除以a⁴，化簡得3e⁴-16e²+16=0，
解之得 e=或e=2．
∵0＜b＜a，∴e=2（e=舍去）．
故答案為：2
點評：本題給出雙曲線經過虛、實軸端點的直線到原點的距離，求雙曲線的離心率，著重考查了點到直線的距離公式、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．