Question

10、函數(shù)y=f（x）的值域是[-1，2]，則函數(shù)y=-f²（x-1）+2f（x-1）的值域為

[-3，1]

．

Answer 1

分析：由函數(shù)y=f（x）的值域是[-1，2]，知f（x-1）的值域也是[-1，2]，而函數(shù)y=-f²（x-1）+2f（x-1）是f（x-1）的二次函數(shù)，求y的值域就化為求二次函數(shù)在一閉區(qū)間上的最值問題．

解答：解：由題意，函數(shù)y=-f²（x-1）+2f（x-1）=-[f（x-1）-1]²+1，
∵函數(shù)y=f（x）的值域是[-1，2]，
得-1≤f（x-1）≤2，
則-2≤f（x-1）-1≤1，
∴0≤[f（x-1）-1]²≤4，
∴-4≤-[f（x-1）-1]²≤0，
∴-3≤-[f（x-1）-1]²+1≤1；
所以函數(shù)y的值域為[-3，1]．
故答案為：[-3，1]

點評：本題的關鍵是知函數(shù)f（x-1）的值域與函數(shù)y=f（x）的值域，因為它們的定義域相同，對應法則也相同；然后是求二次函數(shù)在一閉區(qū)間上的值域問題；是基礎題．