(本題14分)對于函數,若
,則稱
為
的“不動點”,若
,則稱
為
的“穩(wěn)定點”,函數
的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B,即
.
(1)設,求集合A和B;
(2)若,
,求實數
的取值范圍;
(3)若,求證:
.
(1),
;(2)
;
【解析】
試題分析:(1)緊扣題中給出的“不動點”和“穩(wěn)定點”的定義,準確列出關于的方程,求得集合A和B;(2)利用“不動點”和“穩(wěn)定點”的定義,分別討論參數
和
兩種情況且注意分母不能為0,求出集
和
,再由
,確定
的取值范圍;(3)利用“不動點”和“穩(wěn)定點”的定義,分別討論參數
和
兩種情況,求出集
和
,證得結論.本題屬于創(chuàng)新型問題,在求解時關鍵在于準確把握新定義,正確應用新定義和相關知識求解所給的問題,要在理解新定義上下功夫,在應用新定義解決所給問題上做文章.具體到本題中,函數
的“不動點”本質就是方程
的解,函數
的“穩(wěn)定點”本質就是方程
的解,只要能牢牢把握這一本質,就能解好本題目.
試題解析:(1)由,得
,解得
; 1分
由,得
,解得
. 2分
所以集合,
. 4分
(2)①若,則
,符合題意; 5分
②若,由題意有:
,
注意:,驗證得:
不是方程
的根;
∴; 6分
,
注意:且
,
驗證得:和
都不是方程
的根,
∴; 8分
∴;∵
,∴
,∴方程
有解,
∴且
; 9分
綜上,實數的取值范圍是
. 10分
(3)①若,
,結論成立; 11分
②若,由
得
,則
12分
∵
考慮方程:,∵
,∴方程
無解.
∴; 13分
∴. 14分
考點:①含參數的一元二次方程解法;②集合與集合的關系.
科目:高中數學 來源:2014-2015學年江西省高一上學期第一次月考數學試卷(解析版) 題型:選擇題
設函數
,若
,
,則關于
的方程
的解的個數為( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
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科目:高中數學 來源:2014-2015學年江西省吉安市高一上學期第一次段考數學試卷(解析版) 題型:填空題
已知集合A=B=R,,
,
,若4和10的原象分別是6和9,則19在
作用下的象為 。
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科目:高中數學 來源:2014-2015學年江西省吉安市高一上學期第一次段考數學試卷(解析版) 題型:選擇題
定義集合運算:※
,設
,
,則集合A※B的所有元素之和為( )
A.6 B.3 C.2 D.0
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科目:高中數學 來源:2014-2015學年江西省高二上學期第一次月考文科數學試卷(解析版) 題型:選擇題
不等式x(2﹣x)≤0的解集為( )
A.{x|0≤x≤2} B.{x|x≤0或x≥2} C.{x|x≤2} D.{x|x≥0}
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