Question

已知三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示．
（Ⅰ）求證：△PBC是直角三角形；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC是全面積；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)E在線段PC的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PAB所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：先由三視圖分析出三棱錐P-ABC中的線面關(guān)系及其數(shù)量關(guān)系，易知PA⊥底面ABC，且底面是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形．
（1）通過(guò)計(jì)算利用勾股定理證明△PBC是直角三角形；
（2）由（1）知：△PBC是直角三角形，且其余的三個(gè)面也都是直角三角形，所以面積易求；
（3）取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OE（E此時(shí)為CD中點(diǎn)），易證得OA，OB，OE兩兩垂直，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別求出直線AE的方向向量，平面PBC的法向量，代入公式即可求得AE與平面PAB所成的角．

解答： 解：由三視圖可知，PA⊥底面ABC，且△ABC是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴△PAB，△PAC都是直角三角形，
又由三視圖可知，PA=

2

，AB=BC=1，AC=

2

，
∴PB²=PA²+AB²=3，PC²=PA²+AC²=4，
∴PC²=PB²+BC²，∴△PBC是直角三角形．

（Ⅱ）由上面的證明可知△PAB，△PBC，△PAC，△ABC都是直角三角形，
∴S_△PAB=

1

2

PA•AB=

1

2

2

×1=

2

2

，S_△PBC=

1

2

PB•BC=

1

2

3

×1=

3

2

，S_△PAC=

1

2

PA•AC=

1

2

2

×

2

=1，S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴三棱錐P-ABC的表面積S=

3+ 2 + 3

2

．
（Ⅲ）取AC的中點(diǎn)O，連接OB，則OB⊥AC，又E為PC的中點(diǎn)，連接OE，則OE∥PA，∴OE⊥面ABC，
∴OB，OA，OE兩兩垂直，∴以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則由已知得O（0，0，0），A（0，

2

2

，0），B（

2

2

，0，0），C（0，-

2

2

，0），P（0，

2

2

，

2

），E（0，0，

2

2

）
∴

AE

=(0，-

2

2

，

2

2

)，

AB

=(

2

2

，-

2

2

，0)，

AP

=(0，0，

2

)，
設(shè)平面PAB的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • AB =0 n • AP =0

，即

2 2 x- 2 2 y=0 2 z=0

，
解得x=y，z=0，令x=y=1，z=0，則

n

=(1，1，0)，
設(shè)AE與平面PAB所成的角為θ，則sinθ=|cos＜

n

，

AE

＞|=|

n • AE

| n || AE |

|=|

(0，- 2 2 ， 2 2 )•(1，1，0)

|(0，- 2 2 ， 2 2 )||(1，1，0 )|

|=

1

2

，
又∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=30°．

點(diǎn)評(píng)：三視圖的視圖問(wèn)題，要按照“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”的原則，將其體現(xiàn)出來(lái)的幾何性質(zhì)與直觀圖聯(lián)系起來(lái)；本題的線面角在圖中不好直接找到斜線在平面內(nèi)的射影，因此利用空間向量來(lái)解決，通過(guò)建系、設(shè)點(diǎn)，表示向量、求向量間的夾角，最后還原為所求的角．要注意線面角的范圍．