Question

異面直線a，b所成的角為θ，過空間中定點P，與a，b都成60°角的直線有四條，則θ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：為解決本題，先來掌握一個知識點：若平面α外一條直線和平面α內兩相交直線m，n所成角相等，且m，n所成角為θ₁，c與m所成角為θ₂，則

θ1

2

＜θ2．掌握這個知識點后，然后可根據(jù)條件畫出圖形，便可得到

180°-θ

2

＜60°，所以60°＜θ≤90°．

解答： 解：如圖，已知異面直線a，b，過點P分別作a₁∥a，b₁∥b，則相交直線a₁，b₁確定一平面α；

假設PA是與a，b都成60°角的四條直線中的一條，即：和直線a，b所成角都是60°；
即PA和a₁，b₁所成角都是60°，設c是θ的平分線，d是θ補角的平分線；
容易知道PA和a₁所成角大于c和b₁所成角；
∵0°＜θ≤90°，∴

θ

2

≤45°＜60°；
∴存在直線PA和a₁，b₁所成角都為60°，而PA關于平面α的對稱直線也和a₁，b₁所成角為60°；
假設PB和a₁，b₁所成角為60°，并且PB關于平面α的對稱直線也和a₁，b₁成60°角，這樣就找到四條直線和a₁，b₁成60°角；
而要使PB和a₁，b₁所成角為60°，則：

180°-θ

2

＜60°，即θ＞60°，又0°＜θ≤90°；
∴60°＜θ≤90°；
θ的取值范圍為（60°，90°]．
故答案為：（60°，90°]．

點評：考查異面直線所成角的概念及范圍，以及空間想象能力及作圖能力．