Question

如圖，在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，點E在棱CC₁上，點E是棱C₁C上一點．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A₁E⊥BD
（2）試確定點E的位置，使得A₁-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）當E為CC₁中點時，求四面體A₁-BDE的體積．

Answer 1

分析：（1）由AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥BD，結合菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA₁C₁C，進而得到A₁E⊥BD；
（2）由（1）得二面角A₁-BD-E的平面角為∠A₁OE，令CE=x，利用勾股定理，可得x值，進而確定E點的位置；
（3）VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD，當E為CC₁中點時，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：解：（1）因為AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，

∴BD⊥AC BD⊥AA1 ⇒BD⊥平面AA1C1C A1E⊆平面AA1C1C

⇒BD⊥A1E…（4分）
（2）由（1）得BD⊥平面AA₁C₁C，所以二面角A₁-BD-E的平面角為∠A₁OE．
令CE=x，則易得A1O=

AA12+AO2

=

19

，OE=

OC2+CE2

=

x2+3

，A1E=

A1C12+C1E2

=

12+(4-x)2

又因為A1E2=A1O2+OE2⇒x=

3

4

…9
（3）因為VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD
另一方面，因為BD⊥平面AA₁C₁C，所以平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C，
過E作A₁O的垂線與H，則必有EH⊥平面A₁BD，從而dE-A1BD=EH
當E點和CC₁中點時EH=

6 57

19

，
從而VA1-BDE=VE-A1BD=

1

3

S△A1BD•dE-A1BD=2

3

…（13分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的性質(zhì)，難度中檔．