本小題滿分12分)
已知函數f (x)=x3+ ax2-bx (a, b∈R) .
(1)若y=f (x)圖象上的點(1,-)處的切線斜率為-4,求y=f (x)的極大值;
(2)若y=f (x)在區(qū)間[-1,2]上是單調減函數,求a + b的最小值.
解:(1)∵f ′(x)=x2+2ax-b ,
∴ 由題意可知:f ′(1)=-4且f (1)=-,
∴ 解得:…………………………2分
∴ f (x)=x3-x2-3x。
f ′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=3,……………3分
由此可知:
∴ 當x=-1時, f (x)取極大值. …………………………6分x (-∞,-1) -1 (-1, 3) 3 (3, +∞) f ’(x) + 0 - 0 + f (x) ↗ f (x)極大5/3 ↘ f (x) 極小 ↗
(2) ∵y=f (x)在區(qū)間[-1,2]上是單調減函數,
∴f ′(x)=x2+2ax-b≤0在區(qū)間[-1,2]上恒成立.
根據二次函數圖象可知f ′(-1)≤0且f ′(2)≤0,即:
也即…………………9分
作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖:
當直線z=a+b經過交點P(-, 2)時,
z=a+b取得最小值z=-+2=,
∴z=a+b取得最小值為……………………12分
解析
科目:高中數學 來源:2010-2011學年遼寧省遼南協作體高一下學期期中考試數學(理) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知向量,記函數,
若函數的最小正周期為.
(1)求的值;
(2)當時,試求的值域;
(3)求在上的單調遞增區(qū)間.
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科目:高中數學 來源:2011屆黑龍江省大慶實驗中學高三高考仿真模擬試題理數 題型:解答題
((本小題滿分12分)
已知橢圓
是橢圓上縱坐標不為零的兩點,若其中F為橢圓的左焦點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2011年江西省普通高中招生考試文科數學 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知過拋物線的焦點,斜率為的直線交拋物線于()兩點,且.
(1)求該拋物線的方程;
(2)為坐標原點,為拋物線上一點,若,求的值.
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科目:高中數學 來源:2012-2013學年河南靈寶第三高級中學高三上學期第三次質量檢測文數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知條件,
條件,
(1)若,求實數的值;
(2)若,求實數的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2012-2013學年河北省永年二中涉縣一中臨漳一中高三聯考理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知函數,且對于任意實數,恒有.
(1)求函數的解析式;
(2)函數有幾個零點?
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