Question

如圖，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的邊長AB=1，BC=2，E為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PE⊥DE；
（2）如果PA=2，求異面直線AE與PD所成的角的大�。�

Answer 1

（1）證明：連接AE，由AB=BE=1，得，同理，
∴AE²+DE²=4=AD²，由勾股定理逆定理得∠AED=90°，∴DE⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，根據(jù)三垂線定理可得PE⊥DE．
（2）取PA的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連MC、NC、MN、AC．
∵NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC的大小等于異面直線PD與AE所成的角或其補(bǔ)角的大�。�
由PA=2，AB=1，BC=2，得，，∴，．
∴異面直線PD與AE所成的角的大小為．
分析：（1）首先利用勾股定理的逆定理證明DE⊥AE，及PA⊥平面ABCD，根據(jù)三垂線定理即可證明PE⊥DE；
（2）取PA的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連MC、NC、MN、AC．利用三角形的中位線定理可知∠MNC的大小等于異面直線PD與AE所成的角或其補(bǔ)角的大�。�再利用余弦定理即可得出．
點(diǎn)評：熟練掌握勾股定理的逆定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定理、三角形的中位線定理、異面直線所成的角、余弦定理是解題的關(guān)鍵．