Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 已知a1=1， ，n∈N* ．
（1）求a2的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)， ，解得a2=4
（2）解： ①

當(dāng)n≥2時(shí)， ②

①﹣②得

整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即 ，

當(dāng)n=1時(shí)，

所以數(shù)列{ }是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

所以 ，即

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 ，n∈N*

（3）證明：因?yàn)? （n≥2）

所以 = ．

當(dāng)n=1，2時(shí)，也成立

【解析】（1）利用已知a1=1， ，n∈N* ． 令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化為 ， ．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（3）利用（2），通過(guò)放縮法 （n≥2）即可證明．