Question

11．不存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有（　　）

• A． f（|x+1|）=x²+2x
• B． f（cos2x）=cosx
• C． f（sinx）=cos2x
• D． f（cosx）=cos2x

Answer 1

分析 若f（cos2x）=cosx，則有f（1）=1且f（1）=-1，根據(jù)函數(shù)的定義，可得結(jié)論．

解答 解：若f（|x+1|）=x²+2x=（x+1）²-1，
則f（x）=x²-1，x≥1，故存在函數(shù)f（x），使A成立；
若f（sinx）=cos2x=1-2sin²x，
則f（x）=1-2x²，-1≤x≤1，故存在函數(shù)f（x），使C成立；
若f（cosx）=cos2x=2cos²x-1，
則f（x）=2x²-1，-1≤x≤1，故存在函數(shù)f（x），使D 成立；
當x=0時，f（cos2x）=cosx可化為：f（1）=1，
當x=π時，f（cos2x）=cosx可化為：f（1）=-1，
這與函數(shù)定義域，每一個自變量都有唯一的函數(shù)值與其對應矛盾，
故不存在函數(shù)f（x）對任意x∈R都有f（cos2x）=cosx，
故選：B．

點評 本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)的定義，難度中檔．