解答題

如圖，P是拋物線C：y＝x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q．

(1)

當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線l的方程；

(2)

當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

答案：
解析：

(1)

解：把x＝2代入，得y＝2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，2)．(2分)

由，①得，∴過點(diǎn)P的切線的斜率k切＝2，(4分)

直線l的斜率kl＝－＝∴直線l的方程為y－2＝－(x－2)，

即x＋2y－6＝0．(6分)

(2)

　　解：∵過點(diǎn)P的切線斜率k初＝x0，當(dāng)x0＝0時(shí)不合題意，(8分)

∴直線l的斜率kl＝－＝，

直線l的方程為②(10分)

　　方法一：聯(lián)立①②消去y，得x2＋x－x02－2＝0．設(shè)Q

∵M(jìn)是PQ的中點(diǎn)，

∴(12分)

消去x0，得y＝x2＋(x≠0)就是所求的軌跡方程．(14分)

　　方法二：

設(shè)Q則

由y0＝x02，y1＝x12，x＝(8分)

∴y0－y1＝x02－x12＝(x0＋x1)(x0－x1)＝x(x0－x1)，(10分)

∴∴(12分)

將上式代入②并整理，得y＝x2＋(x≠0)就是所求的軌跡方程．(14分)


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，P是拋物線C：y=
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x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P并與拋物線C在點(diǎn)P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上移動(dòng)時(shí)，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程，并求點(diǎn)M到x軸的最短距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線x2=2py（p＞0）．拋物線上的點(diǎn)M（m，1）到焦點(diǎn)的距離為2
（1）求拋物線的方程和m的值；
（2）如圖，P是拋物線上的一點(diǎn)，過P作圓C：x2+（y+1）2=1的兩條切線交x軸于A，B兩點(diǎn)，若△CAB的面積為
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5
，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浙江模擬）已知拋物線x2=4y．
（Ⅰ）過拋物線焦點(diǎn)F，作直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，求|MN|最小值；
（Ⅱ）如圖，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓C：x2+（y+1）2=1的切線交直線y=-2于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)PB恰好切拋物線于點(diǎn)P時(shí)，求此時(shí)△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，圓（x-1）2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

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