Question

設函數(shù)f（x）=lg（

2

x+1

-1）的定義域為集合A，函數(shù)g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域為集合B．
（1）求f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）的值；
（2）若A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，證出f（x）是奇函數(shù)，得f（

1

2013

）與f（-

1

2013

）互為相反數(shù)，即得所求函數(shù)值的和；
（2）由對數(shù)的真數(shù)大于0，得集合A=（-1，1），再根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域求法，得集合B=[-3+a，1+a]．A∩B=∅得區(qū)間A在B的左邊或右邊，沒有公共元素，由此建立關于a的不等式，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（

2

x+1

-1）=lg

1-x

1+x

∴函數(shù)的定義域為{x|

1-x

1+x

＞0}=（-1，1），關于原點對稱
∵f（-x）=lg

1+x

1-x

=lg（

1-x

1+x

）^-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)，得f（-

1

2013

）=-f（

1

2013

），
因此f（

1

2013

）+f（-

1

2013

）=0；
（2）由（1），f（x）的定義域A=（-1，1），
∵函數(shù)g（x）=-x²+2x+a在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，3]上是減函數(shù)
∴g（x）的最大值為g（1）=1+a，最小值為g（3）=-3+a
函數(shù)g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域B=[-3+a，1+a]
∵A∩B=∅，
∴1+a≤-1或-3+a≥1，得a≤-2或a≥4
即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-2]∪[4，+∞）

點評：本題給出真數(shù)為分數(shù)的對數(shù)型函數(shù)，求函數(shù)的定義域和特殊的函數(shù)值，著重考查了基本初等函數(shù)的定義域、值域，以及集合的基本運算等知識，屬于中檔題．