Question

已知曲線C在y軸右側(cè)，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)P（0，1）且與曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意化為拋物線的定義，并由此寫出的拋物線的方程，
（2）先討論直線的斜率是否存在，不存在時(shí)x=0，再討論斜率是否是0，從而解出直線方程．

解答： 解：（1）如右圖，曲線C上的點(diǎn)D到到點(diǎn)F（1，0）的距離與其到直線x=-1的距離相等，
則曲線C為拋物線，且焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
則其方程為：y²=4x．
（2）①若過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線的斜率不存在，即x=0時(shí)，
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（0，0），故成立；
②若過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線的斜率存在，不妨設(shè)為k，
則直線方程可設(shè)為y=kx+1，與y²=4x聯(lián)立得，

y2=4x y=kx+1

，消y得，
（kx+1）²=4x，即：
k²x²+（2k-4）x+1=0，
若k=0，則x=

1

4

，成立，此時(shí)直線方程為y=1；
若k≠0，則△=（2k-4）²-4k²=0，
解得，k=1．
綜上所述，求過(guò)點(diǎn)P（0，1）且與曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程有：
x=0，y=1，y=x+1三條．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力及作圖能力，注意拋物線的定義的變形及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)對(duì)直線的討論，屬于中檔題．