Question

【題目】已知函數f(x)（a＞0）．

（1）證明：當x∈[1，+∞）時，f(x)≥1．

（2）當0<a≤1時，對于任意的x∈(0，+∞)，f(x)≥m，求整數m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）m的最大整數值為0．

【解析】

（1）求導可知f′(x)＞0，則f(x)在[1，+∞）上是增函數，進而得證；

（2）依題意，當0<x<1時，，令，則問題轉化為g(x)≥m在(0，1)上恒成立，利用導數求出函數g(x)的最小值即可．

（1）證明：，

∵a>0，x≥1，

∴f′(x)>0，f(x)在[1，+∞）上是增函數，

∴f(x)≥ f(1)＝1；

（2）當x≥1時，由（1）知f(x)≥1，故m≤1；

當0<x<1時，因為0<a≤1，所以，

令，故問題轉化為g(x)≥m在(0,1)上恒成立，，

令h(x)＝x+1+lnx，易知h(x)在(0，1)上單調遞增，

∵h(e﹣2)<0，h(1)>0，

∴存在，使得h(x0)＝x0+1+lnx0＝0，

當x∈(0，x0)時，g′(x)< 0，當x∈(x0，1)時，g′(x)>0，

∴g(x)在x＝x0處取得最小值，，

由于x0+1+lnx0＝0，于是，

∵，

∴0<g(x0)<1，

綜上所述，m的最大整數值為0．