Question

4．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，且f（x）在x=-1，x=3處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象有且僅有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到x=-1，x=3是方程f′（x）=0的根，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的極值求出m的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，
故f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，
且f（x）在x=-1，x=3處取得極值，
則x=-1，x=3是方程f′（x）=0的根，
故$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=-\frac{2a}{3}}\\{-1×3=\frac{3}}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=-9，
f（x）=x³-3x²-9x，f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，3）遞減，在（3，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（-1）=5，f（x）_極小值=f（3）=-27；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=m的圖象有且僅有一個公共點，
由（1）得：m＞5或m＜-27．

點評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題，考查函數(shù)圖象的交點問題，是一道中檔題．