Question

口袋里裝有大小相同的4個(gè)紅球和8個(gè)白球，甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回摸球，每次摸出一個(gè)球．規(guī)則：若一方摸出紅球，則此人繼續(xù)摸球；若一方摸出白球，則由對(duì)方下一次摸球．每次摸球都相互獨(dú)立，并由甲先進(jìn)行第一次摸球．
（1）求第三次由甲摸球的概率；
（2）寫(xiě)出在前三次摸球中，甲摸得紅球的次數(shù)的分布列，并求數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得：事件“第三次由甲摸球”包含以下兩種情況：①甲前2次都摸到紅球，則第3次仍然由甲摸球，②甲首先摸到白球，乙再摸到白球，而第3次則由甲摸球，再分別根據(jù)題意與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出其發(fā)生的概率即可得到答案．
（2）設(shè)甲摸到紅球的次數(shù)為ξ，根據(jù)題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，再結(jié)合題意與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出其發(fā)生的概率，進(jìn)而算出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）根據(jù)題意可得：事件“第三次由甲摸球”包含以下兩種情況：①甲前2次都摸到紅球，則第3次仍然由甲摸球，并且其概率為：

1

9

；
②甲首先摸到白球，乙再摸到白球，而第3次則由甲摸球，并且其概率為：

4

9

，
所以P(第三次由甲摸球)=

1

9

+

4

9

=

5

9

…（5分）
（2）記“甲摸球一次摸出紅球”為事件A“乙摸球一次摸出紅球”為事件B，
則 P(A)=P(B)=

4

4+8

=

1

3

，P(

.

A

)=P(

.

B

)=

2

3

，并且根據(jù)題意可得：A，B是相互獨(dú)立事件．
設(shè)甲摸到紅球的次數(shù)為ξ，根據(jù)題意知ξ的可能取值為0，1，2，3，
所以P(ξ=0)=P(

.

A

•B)+P(

.

A

•

.

B

•

.

A

)=

2

3

×

1

3

+(

2

3

)3=

14

27

，P(ξ=1)=P(A•

.

A

)+P(

.

A

•

.

B

•A)=

1

3

×

2

3

+(

2

3

)2×

1

3

=

10

27

，
P(ξ=2)=P(A•A•

.

A

)=(

1

3

)2×

2

3

=

2

27

，P(ξ=3)=P(A•A•A)=(

1

3

)3=

1

27

．
∴ξ的分布列為

∴數(shù)學(xué)期望 Eξ=0×

14

27

+1×

10

27

+2×

2

27

+3×

1

27

=

17

27

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，此題屬于中檔題，是近幾年高考命題的熱點(diǎn)之一．