求證:1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.

答案：
解析：

 證明:

記f(n)=1+2+22+23+…+25n-1,

用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時,命題顯然成立.

根據(jù)歸納假設(shè),當(dāng)n=k時,命題成立,即f(k)=1+2+22+23+…+25k-1能被31整除.①

要證明n=k+1時,命題也成立,即f(k+1)=1+2+22+23+…+25k-1+25k+…+25(k+1)-1能被31整除.②

要用①來證明②,事實上,

f(k+1)=f(k)+25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4,即要證

f(k+1)=f(k)+31×25k能被31整除.③

接下來,只需證31×25k能被31 整除,這是顯然的事實,這就證明了③.

綜上,可知1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.


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