如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)與拋物線E：y2=4x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx與拋物線E的交點(diǎn)為O，Q，與橢圓c的交點(diǎn)為M，N（N在線段OQ上），且|MO|=|NQ|． 問滿足條件的直線l有幾條，說明理由．
分析：（1）確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓C上，求得a的值，根據(jù)c=1，b=
a2-c2
，即可求得橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可求M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線，可求Q的坐標(biāo)，根據(jù)|MO|=|NQ|，可得N為線段OQ的中點(diǎn)，從而可建立方程，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）∵拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）．
由點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，所以P（
2
3
，
2
6
3
）．
又點(diǎn)P在橢圓C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b=
a2-c2
=
3
，從而橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1     （5分）
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得
y=kx
x2
4
+
y2
3
=1 
，消去y可得3x2+4k2x2=12，∴x=±2
3
3+4k2
．（7分）
聯(lián)立直線與拋物線得
y=kx
y2=4x
，消去y可得k2x2=4x，解得x=0或x=
4
k2
        （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N為線段OQ的中點(diǎn)，∴4
3
3+4k2
=
4
k2
，
化簡得3k4-4k2-3=0，解得k2=
2+
13
3
（負(fù)值舍去），故滿足題意的k值有2個(gè)．
從而存在過原點(diǎn)O的兩條直線l滿足題意．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請(qǐng)說明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點(diǎn)P（2，1）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于點(diǎn)A、B，直線AB與x軸交于點(diǎn)M，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為l，N為l上一點(diǎn)，且在x軸上方，AN與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A、F，右準(zhǔn)線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過A、F兩點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點(diǎn)為K，將直線l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，過P作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長MN的最小值．

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