Question

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為和.

（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（III）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.

Answer 1

【答案】（I）；（II）增區(qū)間是， ，減區(qū)間是；（III）最大值為，最小值為.

【解析】試題分析：（I）求出，由解得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程；（II）求出， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（III）根據(jù)（II）求出函數(shù)的極值，與區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值進(jìn)行比較即可得結(jié)果.

試題解析：（I）.

由知，解得

從而

所以，

曲線在點(diǎn)處的切線方程為

即.

（II）由于，當(dāng)變化時， 的變化情況如下表：

		0		0
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

故的單調(diào)增區(qū)間是， ，單調(diào)減區(qū)間是.

（III）由于

故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小）.