Question

設二次函數f（x）=x²-4x-1在區(qū)間[t，t+2]上的最小值為g（t），試求函數y=g（t）的最小值，并作出函數y=g（t）的圖象，其中t∈R

Answer 1

【答案】分析：用配方法對解析式進行變形，求出對稱軸后根據它與區(qū)間的位置關系，分三種情況t≥2、0＜t＜2和t≤0，利用二次函數在區(qū)間上的單調性求解．
解答：解：f（x）=x²-4x-1=（x-2）²-5，則對稱軸x=2，分三種情況求解：
①當t≥2時，函數f（x）在區(qū)間[t，t+2]上是增函數，
∴最小值為g（t）=f（t）=t²-4t-1，
②當0＜t＜2時，對稱軸在區(qū)間[t，t+2]內，
∴最小值為g（t）=-5，
③當t≤0時，函數f（x）在區(qū)間[t，t+2]上是減函數，
∴最小值為g（t）=f（t+2）=t²-5，
綜上，g（t）=，在坐標系中畫出函數圖象．
點評：本題考查了閉區(qū)間上的二次函數的最值問題，需討論圖象的對稱軸與定義域間的關系，需用分類討論法或圖象求g（t）的最小值，即g（t）是關于t的分段函數；對于二次函數區(qū)間最值主要有三種類型，軸定區(qū)間定、軸定區(qū)間動和軸動區(qū)間定．