Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1
（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），求M（a）的表達(dá)式；
（3）若

1

3

≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，分一次函數(shù)、二次函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）配方，確定函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系，即可得到M（a）的表達(dá)式；
（3）先確定N(a)=f(

1

a

)=1-

1

a

，再利用（2）的結(jié)論，即可求得g（a）的表達(dá)式．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-2x+1在（-∞，+∞）上為減函數(shù)…（2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)f（x）=ax²-2x+1開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

a

∴函數(shù)f（x）在(-∞，

1

a

)上為減函數(shù)，在(

1

a

，+∞)上為增函數(shù)…（4分）
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)f（x）=ax²-2x+1開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=

1

a

∴函數(shù)f（x）在(-∞，

1

a

)上為增函數(shù)，在(

1

a

，+∞)上為減函數(shù)…（6分）
（2）∵f(x)=a(x-

1

a

)2+1-

1

a

，又

1

3

≤a≤1，得1≤

1

a

≤3
當(dāng)1≤

1

a

＜2，即

1

2

＜a≤1時(shí)，M（a）=f（3）=9a-5，當(dāng)2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a≤

1

2

時(shí)，M（a）=f（1）=a-1，
∴M（a）=

a-1， 1 3 ≤a≤ 1 2 9a-5， 1 2 ＜a≤1

…（8分）
（3）∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3
∴N(a)=f(

1

a

)=1-

1

a

當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，M（a）=f（3）=9a-5，∴g(a)=9a+

1

a

-6
當(dāng)

1

3

≤a≤

1

2

時(shí)，M（a）=f（1）=a-1，∴g(a)=a+

1

a

-2…（12分）
∴g(a)=

a+ 1 a -2，a∈[ 1 3 ， 1 2 ] 9a+ 1 a -6，a∈( 1 2 ，1]

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類(lèi)是關(guān)鍵．