Question

將一張長8cm，寬6cm的長方形的紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．記折痕長為lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范圍．

Answer 1

解：如圖所示：不妨設紙片為長方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中點A在面積為S₁的部分內．折痕有下列三種情形：

情形①情形②情形③
①折痕的端點M，N分別在邊AB，AD上；
②折痕的端點M，N分別在邊AB，CD上；
③折痕的端點M，N分別在邊AD，BC上．
（1）在情形②③中，MN≥6，故當l=4時，折痕必定是情形①．
設AM=xcm，AN=ycm，則x²+y²=16．
因為x²+y²≥2xy，當且僅當x=y時取等號，
所以，當且僅當x=y=2時取等號，即S₁的最大值為4．
（2）由題意知，長方形的面積為S=6×8=48，
因為S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32．
當折痕是情形①時，設AM=xcm，AN=ycm，則，即y=，
由，解得，
所以l==，，
設f（x）=，x＞0，則=，x＞0，
故當x∈（）時f′（x）＜0，f（x）遞減，當x∈（4，8）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，且f（）=64，f（8）=80，
所以f（x）的取值范圍為[64，80]，從而l的范圍是[8，4]．
當折痕是情形②時，設AM=xcm，DN=ycm，則，即y=，
由，解得0，
所以l==，0，
所以l的范圍為[6，]；
當折痕是情形③時，設BN=xcm，AM=ycm，則，即y=4-x，
由，得0≤x≤4，所以l==，0≤x≤4，
所以l的取值范圍為[8，4]，
綜上，l的取值范圍為[6，]．
分析：（1）不妨設紙片為長方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中點A在面積為S₁的部分內．折痕有下列三種情形：①折痕的端點M，N分別在邊AB，AD上；②折痕的端點M，N分別在邊AB，CD上；③折痕的端點M，N分別在邊AD，BC上．易判斷l(xiāng)=4為情形①，設AM=xcm，AN=ycm，則x²+y²=16．利用不等式即可求得S₁的最大值；
（2）由題意知，長方形的面積為S=6×8=48，因為S₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32，按三種情形進行討論：根據S₁的面積可把折痕l表示為函數，根據函數的特點可用導數或二次函數性質分別求得l的范圍，綜上即可求得l的范圍；
點評：本題考查利用導數、不等式求函數的最值，考查分類討論思想、函數思想、數形結合思想，考查學生分析解決問題的能力．