已知函數(shù)f(x)=asin2(
π
4
+x)+bcos2x
,f(0)=1-
3
,且f(
π
2
)=1+
3

(1)求a,b的值及f(x)的最大值和最小值;
(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
4
,
π
2
]
上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)由f(x)的圖象是否可以經(jīng)過(guò)平移變換得到一個(gè)奇函數(shù)y=g(x)的圖象?若能,請(qǐng)寫(xiě)出你的變換過(guò)程;否則說(shuō)明理由.
分析:(1)利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f(x)的解析式,由條件求出a、b的值,進(jìn)一步化簡(jiǎn)f(x)=1+2sin(2x-
π
3
),從而求出函數(shù)的最大值和最小值.
(2)由條件可得x∈[
π
4
,
π
2
]
上時(shí),m-3<2sin(2x-
π
3
)<1+m恒成立,故有
1
2
≤2sin(2x-
π
3
)≤2.由 1+m>2,m-3<
1
2
,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)由f(x)=1+2sin(2x-
π
3
) 可得,把f(x)的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位得到y(tǒng)=1+2sin2x的圖象,再向下平移1個(gè)單位可得y=2sin2x的圖象,而y=2sin2x就是奇函數(shù),從而得到結(jié)論.
解答:解:(1)f(x)=asin2(
π
4
+x)+bcos2x
=a
1-cos(
π
2
+2x)
2
+bcos2x=
a
2
+
1
2
a•sin2x
+bcos2x.
由f(0)=1-
3
,且f(
π
2
)=1+
3
可得
a
2
+b=1-
3
,且
a
2
-b=1+
3
,∴a=2,b=-
3

∴f(x)=1+sin2x-
3
cos2x=1+2sin(2x-
π
3
),故它的最大值為3,最小值等于-1.
(2)若不等式|f(x)-m|<2在x∈[
π
4
π
2
]
上恒成立,即m-3<2sin(2x-
π
3
)<1+m.
由于
π
4
≤x≤
π
2
,∴
π
6
≤2x-
π
3
3
,∴
1
2
≤2sin(2x-
π
3
)≤2.
∴1+m>2,m-3<
1
2
,解得1<m<
7
2

故實(shí)數(shù)m的取值范圍(1,
7
2
).
(3)由f(x)=1+2sin(2x-
π
3
)可得,
把f(x)的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位得到y(tǒng)=1+2sin2x的圖象,
再向下平移1個(gè)單位可得y=2sin2x的圖象,而y=2sin2x就是奇函數(shù),
故由f(x)的圖象可以經(jīng)過(guò)平移變換得到一個(gè)奇函數(shù)y=g(x)的圖象.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)y=Asin(ωx+∅)的圖象變換,正弦函數(shù)的值域,函數(shù)的恒成立問(wèn)題,以及函數(shù)的奇偶性,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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