Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x-2，若對(duì)任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）（理）對(duì)于給定的非零實(shí)數(shù)a，求最小的負(fù)數(shù)M（a），使得x∈[M（a），0]時(shí)，-4≤f（x）≤4都成立；
（Ⅲ）（理）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)a為何值時(shí)，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
（Ⅱ）（文）求最小的實(shí)數(shù)b，使得x∈[b，1]時(shí)，f（x）≥-2都成立；
（Ⅲ）（文）若存在實(shí)數(shù)a，使得x∈[b，1]時(shí)，-2≤f（x）≤3b都成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=ax²+4x-2，我們求出f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

的解析式，并根據(jù)f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

判斷其符號(hào)，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）（理）由已知中函數(shù)f（x）=ax²+4x-2的解析式，結(jié)合（I）的結(jié)論，我們可得對(duì)稱軸x=-

2

a

＜0，我們分-2-

4

a

＜-4和-2-

4

a

≥-4，兩種情況進(jìn)行分類討論，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．
（III）（理）由（2）知，當(dāng)0＜a＜2，M(a)=

-2

4-2a +2

． 當(dāng)a≥2，M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3．  我們根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，分別求出各段上函數(shù)的最小值，即可得到，M（a）的最小值-3．
（II）（文）由已知中當(dāng)x∈[b，1]時(shí)，f（x）≥-2都成立，結(jié)合f（0）=-2，易得b≥0，進(jìn)而得到b的最小值；
（Ⅲ）（文）由（Ⅱ）中的結(jié)論可知b≥0，進(jìn)而可以判斷出函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，1]上為增函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)x∈[b，1]時(shí)，-2≤f（x）≤3b都成立，構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解不等式，即可得到實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2≤0，
∵x₁≠x₂，
∴a≥0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．
（Ⅱ）（理）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，
顯然f（0）=-2，對(duì)稱軸x=-

2

a

＜0．
（1）當(dāng)-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2時(shí)，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，
此時(shí)M（a）取較大的根，即M(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

，
（2）當(dāng)-2-

4

a

≥-4，即a≥2時(shí)，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得x=

-2± 4+6a

a

，
此時(shí)M（a）取較小的根，即M(a)=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a +2

，
（Ⅲ）（理） 由（2）知，
當(dāng)0＜a＜2，M(a)=

-2

4-2a +2

． 此時(shí) M（a）＞-1
當(dāng)a≥2，M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3．  此時(shí) M（a）≥-3（當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)，取等號(hào)）
∵-3＜-1，
∴當(dāng)a=2時(shí)，M（a）取得最小值-3．
（Ⅱ）（文）∵f（0）=-2
由x∈[b，1]時(shí)，f（x）≥-2都成立
∴b≥0
∴b的最小值為0
（Ⅲ）（文）由（Ⅱ）知  b≥0
∴f（x）在[b，1]上為增函數(shù)，
∴f（1）≤3b
即：a+4-2≤3b
又 由（Ⅰ）a≥0⇒3b≥a+2≥2⇒b≥

2

3

∴

2

3

≤b＜1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，分段函數(shù)的最小值，函數(shù)恒成立問題，其中（I）的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，判斷出實(shí)數(shù)a的取值范圍，理科（II）的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)f（x）=ax²+4x-2的對(duì)稱軸x=-

2

a

＜0，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，（III）的關(guān)鍵是根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則，得到分段函數(shù)的最值，而文科（II）（III）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于b的不等式．