設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1=a(a>3),an+1=Sn+3n,n∈N*
(Ⅰ)設(shè)bn=Sn-3n,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=3log2
bn
a-3
+1
(n∈N*),證明對(duì)任意的n∈N*,不等式(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)•…•(1+
1
cn
)>
33n+1
恒成立.
分析:(Ⅰ)依題意得Sn+1=2Sn+3n,由此可知得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).所以bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*
(Ⅱ)由已知,先求cn=3n-2,從而將問題轉(zhuǎn)化為(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)•…•(1+
1
cn
)=(1+1)(1+
1
4
)•…•(1+
1
3n-2
)>
33n+1
,用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:(Ⅰ)解:依題意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n).因此,所求通項(xiàng)公式為bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*.…(5分)
(Ⅱ)證明:由已知cn=3log2
bn
a-3
+1=3log2
(a-3)2n-1
(a-3)
+1=3n-2

1+
1
cn
=1+
1
3n-2
,所以(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)•…•(1+
1
cn
)=(1+1)(1+
1
4
)•…•(1+
1
3n-2
)
.…(7分)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)•…•(1+
1
cn
)=(1+1)(1+
1
4
)•…•(1+
1
3n-2
)>
33n+1
成立.
①當(dāng)n=1時(shí),左邊=2,右邊=
34
,因?yàn)?span id="fdszvgn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">2>
34
,所以不等式成立.…(8分)
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)•…•(1+
1
ck
)=(1+1)(1+
1
4
)•…•(1+
1
3k-2
)>
33k+1
成立.
則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊
=(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)•…•(1+
1
ck
)(1+
1
ck+1
)=(1+1)(1+
1
4
)•…•(1+
1
3k-2
)[1+
1
3(k+1)-2
]
33k+1
•[1+
1
3(k+1)-2
]
=
33k+1
•(
3k+2
3k+1
)
=
3
(3k+2)3
(3k+1)2
.…(11分)
要證
3
(3k+2)3
(3k+1)2
33(k+1)+1
成立,只需證
(3k+2)3
(3k+1)2
>3k+4
成立,
由于(3k+1)2>0,只需證(3k+2)3>(3k+4)(3k+1)2成立,只需證27k3+54k2+36k+8>27k3+54k2+27k+4成立,
只需證9k+4>0成立,由于k∈N*,所以9k+4>0成立.即(1+
1
c1
)(1+
1
c2
)•…•(1+
1
ck
)(1+
1
ck+1
)
=(1+1)(1+
1
4
)•…•(1+
1
3k-2
)[1+
1
3(k+1)-2
]>
33(k+1)+1
成立.
所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.
由①,②可得不等式恒成立.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要仔細(xì)審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sna1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對(duì)一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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