Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．已知a₁=a（a＞3），a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)b_n=S_n-3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若cn=3log2

bn

a-3

+1（n∈N^*），證明對(duì)任意的n∈N^*，不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)＞

3	3n+1

恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此可知得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．所以b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由已知，先求c_n=3n-2，從而將問題轉(zhuǎn)化為(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)=(1+1)(1+

1

4

)•…•(1+

1

3n-2

)＞

3	3n+1

，用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：（Ⅰ）解：依題意，S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）．因此，所求通項(xiàng)公式為b_n=S_n-3ⁿ=（a-3）2^n-1，n∈N^*．…（5分）
（Ⅱ）證明：由已知cn=3log2

bn

a-3

+1=3log2

(a-3)2n-1

(a-3)

+1=3n-2，
則1+

1

cn

=1+

1

3n-2

，所以(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)=(1+1)(1+

1

4

)•…•(1+

1

3n-2

)．…（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

cn

)=(1+1)(1+

1

4

)•…•(1+

1

3n-2

)＞

3	3n+1

成立．
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=

3	4

，因?yàn)?span id="fdszvgn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">2＞

3	4

，所以不等式成立．…（8分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

ck

)=(1+1)(1+

1

4

)•…•(1+

1

3k-2

)＞

3	3k+1

成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊
=(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

ck

)(1+

1

ck+1

)=(1+1)(1+

1

4

)•…•(1+

1

3k-2

)[1+

1

3(k+1)-2

]＞

3	3k+1

•[1+

1

3(k+1)-2

]=

3	3k+1

•(

3k+2

3k+1

)=

3	(3k+2)3 (3k+1)2

．…（11分）
要證

3	(3k+2)3 (3k+1)2

＞

3	3(k+1)+1

成立，只需證

(3k+2)3

(3k+1)2

＞3k+4成立，
由于（3k+1）²＞0，只需證（3k+2）³＞（3k+4）（3k+1）²成立，只需證27k³+54k²+36k+8＞27k³+54k²+27k+4成立，
只需證9k+4＞0成立，由于k∈N*，所以9k+4＞0成立．即(1+

1

c1

)(1+

1

c2

)•…•(1+

1

ck

)(1+

1

ck+1

)=(1+1)(1+

1

4

)•…•(1+

1

3k-2

)[1+

1

3(k+1)-2

]＞

3	3(k+1)+1

成立．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由①，②可得不等式恒成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要仔細(xì)審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．