1.已知奇函數(shù)f(x)=$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的定義域?yàn)閇-a-2,b]
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義給出證明;
(3)若實(shí)數(shù)m滿足f(m-1)<f(1-2m),求m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出a,b的值即可;(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可;(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的定義域得到關(guān)于m的不等式組,解出即可.

解答 (1)∵f(x)是奇函數(shù),故f(0)=0,
即a-1=0,解得:a=1,故-a-2=-3,
定義域?yàn)閇-a-2,b],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
故b=3;
(2)函數(shù)f(x)在[-3,3]遞增,
證明如下:設(shè)x1,x2是[-3,3]上的任意2個(gè)值,且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2({{2}^{{x}_{1}}-2}^{{x}_{2}})}{{(2}^{{x}_{1}}+1){(2}^{{x}_{2}}+1)}$,
∵-3≤x1<x2≤3,∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$<0,又${2}^{{x}_{1}}$+1>0,${2}^{{x}_{2}}$+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[-3,3]遞增;
(3)由(1)得f(x)在[-3,3]遞增,
∴f(m-1)<f(1-2m)等價(jià)于:
$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m-1≤3}\\{-3≤1-2m≤3}\\{m-1<1-2m}\end{array}\right.$,解得:-1≤m<$\frac{2}{3}$,
故不等式的解集是[-1,$\frac{2}{3}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的證明,是一道中檔題.

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A.充分非必要條件B.必要非充分條件
C.充要條件D.既非充分又非必要條件

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