Question

求過(guò)拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）上一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程，并由此證實(shí)拋物線的光學(xué)性質(zhì)．

Answer 1

分析：為求斜率，先求導(dǎo)函數(shù)，得到切線方程，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)：F（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），它關(guān)于切線的對(duì)稱點(diǎn)之橫坐標(biāo)為x₀，
說(shuō)明從焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到（x₀，y₀）經(jīng)拋物面反射后反射光線平行于對(duì)稱軸，反之亦然，與對(duì)稱軸平行的光線被拋物面反射后必聚匯于焦點(diǎn)．

解答：解：顯然，y₀=ax₀²+bx₀+c
y′=2ax+b故在P點(diǎn)處切線斜率為2ax₀+b，
切線方程y-（ax₀²+bx₀+c）=（2ax₀+b）（x-x₀），
亦即y=（2ax₀+b）x-ax₀²+c．
由于y=ax²+bx+c按向量=(

b

2a

，-

4ac-b2

4a

)平移即得到y(tǒng)=ax²，
只須證明過(guò)其上一點(diǎn)（x₀，ax₀²）的切線l：y=2ax₀x-ax₀²
滿足：焦點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n）．
當(dāng)x₀≠0時(shí)

n- 1 4a m =- 1 2ax0 n+ 1 4a 2 =2ax0• m 2 -a x 2 0

，消去n．知m=x₀．
當(dāng)x₀=0時(shí)，切線為y=0，F(xiàn)之對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)顯然是0，
故從焦點(diǎn)發(fā)出的光線射到（x₀，ax₀²）后被拋物面反射后的方程為x=x₀（與對(duì)稱軸平行）；
反之，與對(duì)稱軸平行的光線被拋物面反射后必聚匯于焦點(diǎn)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，要求過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線方程，一般先求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（斜率），再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出后化簡(jiǎn)，同時(shí)我們還可以據(jù)此寫(xiě)出該點(diǎn)處的法線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．