在數(shù)列an中,a1=2,an+1=2an+2n+1(n∈N).
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)若m為正整數(shù),當
【答案】分析:(I)把題設中數(shù)列遞推式變形得,根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列是等差數(shù)列.
(II)根據(jù)(I)可求得數(shù)列的通項公式,進而求得an,令f(n)=,則可表示出f(n+1),進而求得當m≥n≥2時的表達式,進而求得解決大于1,判斷出f(n)為遞減數(shù)列,進而可推斷出f(n)的最大值為
f(2),進而問題轉化為證明f(2)≤.進而根據(jù)推斷出進而可知原式得證.
解答:解:(I)由an+1=2an+2n+1變形得:
故數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列
(II)由(I)得an=n•2n

=

為遞減數(shù)列.
當m=n時,f(n)>f(n+1)
∴當m≥n≥2時,f(n)遞減數(shù)列.

要證:時,
=
故原不等式成立.
點評:本題主要考查了等差關系的確定,數(shù)列與不等式的綜合運用.考查了考生綜合分析問題和演繹推理的能力,轉化和化歸思想的運用.屬中檔題.
練習冊系列答案
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在數(shù)列{an}中,a1≠0,an=2an-1(n≥2,n∈N*),前n項和為Sn,則
S4
a2
=
15
2
15
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=8,且已知函數(shù)f(x)=
1
3
(an+2-an+1)x3-(3an+1-4an)x
 ,(n∈N*)
在x=1時取得極值.
(1)證明數(shù)列{an+1-2an}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項;
(2)設3nbn=(-1)nan,且|b1|+|b2|+…+|bn|<m-3n(
2
3
)n+1
對于n∈N*恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=-2,2an+1=2an+3,則a11等于(  )
A、
27
2
B、10
C、13
D、19

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•廣州二模)已知函數(shù)f(x)=
(x+1)4+(x-1)4(x+1)4-(x-1)4
(x≠0).
(Ⅰ)若f(x)=x且x∈R,則稱x為f(x)的實不動點,求f(x)的實不動點;
(Ⅱ)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=f(an)(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•廣元三模)在數(shù)列{an}中,a1=l,a2=2,且an+2-an=1+(-1
)
n
 
(n∈
N
+
 
)
,則其前100項之和S100=
2600
2600

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