Question

已知x，y，z均為正數(shù)，且x+y+z=1，求證：

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

≥1．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：運用重要不等式，結(jié)合累加法可得，y²z²+x²z²+x²y²≥xyz²+x²yz+xy²z，再由條件和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答： 證明：由于y²z²+x²z²≥2xyz²，
x²z²+x²y²≥2x²yz，
y²z²+x²y²≥2xy²z，
相加可得，y²z²+x²z²+x²y²≥xyz²+x²yz+xy²z，
由于x，y，z均為正數(shù)，且x+y+z=1，
則有xyz²+x²yz+xy²z=xyz（x+y+z）=xyz，
即有y²z²+x²z²+x²y²≥xyz，
則有

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

≥1．

點評：本題考查不等式的證明，主要考查運用重要不等式和不等式的基本性質(zhì)，運用累加法證明是解題的關(guān)鍵．