Question

“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ氐哪撤N生物，甲乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為

1

3

，乙組能使生物成活的概率為

1

2

，假定試驗后生物成活，則稱該試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的．
（1）甲小組做了三次試驗，求至少兩次試驗成功的概率；
（2）如果乙小組成功了4次才停止試驗，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率；
（3）若甲乙兩小組各進行2次試驗，設試驗成功的總次數(shù)為ξ，求ξ的期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用古典概率計算公式結合排列組合知識，能求出至少兩次試驗成功的概率．
（2）根據(jù)乙小組在第四次成功前共有三次失敗，可知乙小組共進行了6次試驗，其中三次成功三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗，所以各種可能的情況數(shù)為

A

2 4

=12種，由此能求出結果．
（3）由題意ξ的取值為0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的期望．

解答： 解：（1）甲小組做了三次試驗，至少兩次試驗成功的概率為：
P（A）=

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)

+C

3 3

(

1

3

)3=

7

27

．
（2）根據(jù)乙小組在第四次成功前共有三次失敗，
可知乙小組共進行了6次試驗，其中三次成功三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗，
所以各種可能的情況數(shù)為

A

2 4

=12種，
所以所求的概率為P（B）=12×(

1

2

)3×(

1

2

)3×

1

2

=

3

32

．
（3）由題意ξ的取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2•

C

0 2

(

1

2

)2=

1

9

，
P（ξ=1）=

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)•

C

0 2

(

1

2

)2+

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2

•C

1 2

(

1

2

)2=

1

3

，
P（ξ=2）=

C

2 2

(

1

3

)2(

2

3

)0•

C

0 2

(

1

2

)2+

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)

•C

1 2

(

1

2

)2+

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2•

C

2 2

(

1

2

)2=

13

36

，
P（ξ=3）=

C

2 2

•(

1

3

)2•(

2

3

)0

•C

1 2

•(

1

2

)2+

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)

•C

2 2

(

1

2

)2=

1

6

，
P（ξ=4）=

C

2 2

(

1

3

)2(

2

3

)0•

C

2 2

(

1

2

)2=

1

36

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 9	1 3	13 36	1 6	1 36

Eξ=0×

1

9

+1×

1

3

+2×

13

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

5

3

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．