精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
12

(1)求SC與平面ASD所成的角余弦;
(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦.
分析:(1)作CE∥AB交AD的延長線于E,由∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,可證得SA⊥面ABCD,進(jìn)而CE⊥面SAD,則∠CSE是SC與平面ASD所成的角,解Rt△CES即可得到答案.
(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,△SCD在面SAB的射影是△SAB,分別求出而△SAB的面積和△SCD的面積,代入cosφ=
S△SAB
S△SCD
,即可得到答案.
解答:解:(1)作CE∥AB交AD的延長線于E,
∵AB⊥AD,
∴CE⊥AD.
又∵SA⊥面ABCD,
∴CE⊥SA,SA∩AD=A,
∴CE⊥面SAD,SE是SC在面SAD內(nèi)的射影,
∴∠CSE=θ是SC與平面ASD所成的角,
易得SE=
2
,SC=
3
,
∴在Rt△CES中,cosθ=
CE
SC
=
6
3

(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB,
而△SAB的面積S1=
1
2
×SA×AB=
1
2

設(shè)SC的中點(diǎn)是M,∵SD=CD=
5
2
,
∴DM⊥SC,DM=
2
2

∴△SCD的面積S2=
1
2
×SC×DM
6
4

設(shè)平面SAB和平面SCD所成角為φ,
則由面積射影定理得cosφ=
S△SAB
S△SCD
=
6
3
點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角,其中(1)的關(guān)鍵是證得∠CSE是SC與平面ASD所成的角,(2)的關(guān)鍵是證得,△SCD在面SAB的射影是△SAB,進(jìn)而cosφ=
S△SAB
S△SCD
練習(xí)冊系列答案
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12
PD.
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128°
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如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=
12
PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角D-PQ-C的余弦值.

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