Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²=4x相交于A、B不同的兩點．
（1）如果直線l過拋物線的焦點，求

OA

•

OB

的值；
（Ⅱ）如果

OA

•

OB

=-4，求直線l被拋物線截得弦AB長的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程得到焦點的坐標，設(shè)出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，
得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表達出兩個向量的數(shù)量積．
（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，
根據(jù)數(shù)量積等于-4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：拋物線焦點為（1，0）
設(shè)l：x=ty+1代入拋物線y²=4x消去x得，
y²-4ty-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．
（2）（Ⅱ）設(shè)l：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴

OA

•

OB

=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴x=ty+2，y₁+y₂=4t，y₁y₂=-8，
∴|AB|=

1+ 1 t2

|y₁-y₂|=4（|t|+

2

|t|

）≥8

2

，（|t|=

2

時等號成立）
故直線l被拋物線截得弦AB長的最小值8

2

．

點評：本題綜合考查了拋物線的方程，性質(zhì)，與直線的位置關(guān)系，屬于綜合題．