Question

已知f（x）=ln

1+x

1-x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；    
（2）判斷f（x）單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）為奇函數(shù)．運(yùn)用奇偶性的定義，先求出定義域，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可得證；
（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： 解：（1）f（x）為奇函數(shù)．
理由如下：由

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）+f（x）=ln

1-x

1+x

+ln

1+x

1-x

=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．
理由如下：可令-1＜m＜n＜1，
則f（m）-f（n）=ln

1+m

1-m

-ln

1+n

1-n

=ln

1+m-n-mn

1+n-m-mn

而

1+m-n-mn

1+n-m-mn

-1=

2(m-n)

(1-m)(1+n)

＜0，
則f（m）-f（n）＜ln1=0，
即有f（m）＜f（n），
則f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用定義法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．