Question

定義：

n

p1+p2+…+pn

為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為1+

an

Sn

其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：依題意，可得S_n+a_n=n，繼而知S_n+1+a_n+1=n+1，兩式相減，易知數(shù)列{a_n-1}是以-

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式．

解答： 解：∵

n

a1+a2+…+an

=

n

Sn

=1+

an

Sn

，
∴S_n+a_n=n，①
S_n+1+a_n+1=n+1，②
②-①得：2a_n+1=a_n+1，即a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），又

1

a1

=1+

a1

S1

=1+1=2，
∴a₁=

1

2

，a₁-1=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=（-

1

2

）•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴a_n=1-(

1

2

)n．
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
則T_n=a₁+a₂+…+a_n=n-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]=n-

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=n-1+(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等比關(guān)系的確定，求得a_n=1-(

1

2

)n是關(guān)鍵，考查化歸思想與推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．