Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

x-a（a∈R），若存在b∈[1，e]，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），使得f（f（b））=b，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  1

  2

  ，1-

  e

  2

  ]
• B、[1-

  e

  2

  ，ln2-1]
• C、[-

  1

  2

  ，ln2-1]
• D、[-

  1

  2

  ，0]

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用反函數(shù)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將解方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題．

解答： 解解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b），
其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[1，e]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，
且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[1，e]，
令：lnx+

1

2

x-a=x，則方程在[1，e]上一定有解
∴a=lnx-

1

2

x，
設(shè)g（x）=lnx-

1

2

x
則g′（x）=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

，
當(dāng)g′（x）=0．解得x=2，
∴函數(shù)g（x）=在[1，2]為增函數(shù)，在[2，e]上為減函數(shù)，
∴g（x）≤g（2）=ln2-1，
g（1）=-

1

2

，g（e）=1-

1

2

e，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，ln2-1]
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[1，e]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理和互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí)，屬于中檔題