【題目】直線與雙曲線相交于、兩點，為坐標(biāo)原點，且．

（1）求與滿足的關(guān)系；

（2）求證：點到直線的距離是定值，并求的最小值．

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

(1)設(shè)點A,B聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消元化簡:

,然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量垂直即,可求得和滿足的關(guān)系;

(2)利用點到直線的距離公式求出距離表達(dá)式再利用(1)的結(jié)論即可證明距離是定值;利用弦長公式以及韋達(dá)定理表示出弦長表達(dá)式,然后利用換元配方求解最小值.

（1）設(shè)點A,B,聯(lián)立消得,

∴,

由得

代入化簡可得和滿足的關(guān)系為:;

（2）由點到直線的距離公式可得:,由(1)得

代入可解得為定值;

由直線與雙曲線交點弦弦長公式可得:

,令(t≤3)

化簡可得,

由t≤3可得當(dāng),t=3時.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點為，其準(zhǔn)線：與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）點關(guān)于軸的對稱點為，證明:存在實數(shù)，使得.

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【題目】已知的三邊分別為所對的角分別為，且三邊滿足，已知的外接圓的面積為，設(shè).則的取值范圍為______，函數(shù)的最大值的取值范圍為_______．

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【題目】如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖，假設(shè)從進(jìn)口開始到出口，每遇到一個岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進(jìn)是等可能的.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共名游客結(jié)伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進(jìn)口的岔路口就開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所指路線行走，最后到出口集中，設(shè)點是其中的一個交叉路口點.

（1）求甲經(jīng)過點的概率；

（2）設(shè)這名游客中恰有名游客都是經(jīng)過點，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】從正方體的八個頂點中任取三個點作三角形，直角三角形的個數(shù)為__________．

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【題目】一次足球邀請賽共安排了支球隊參加，每支球隊預(yù)定的比賽場數(shù)分別是，，…，．若任兩支球隊之間至多安排了一場比賽，則稱是一個“有效安排”．證明：若是一個有效安排，且，則可去掉一支球隊，并重新調(diào)整各隊之間的對局情況，使也是一個有效安排．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點，具體方法如下：（l）取線段AB＝2，過點B作AB的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取BC＝AB，連接AC；（2）以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點D；（3）以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點E．則點E即為線段AB的黃金分割點．若在線段AB上隨機(jī)取一點F，則使得BE≤AF≤AE的概率約為（　�。▍⒖紨�(shù)據(jù)：2.236）

A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若方程（為常數(shù)）有兩個不相等的根，則實數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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【題目】分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)．分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段的長度為a，在線段上取兩個點，，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖2中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：

記第個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列的四個命題：

①數(shù)列是等比數(shù)列；

②數(shù)列是遞增數(shù)列；

③存在最小的正數(shù)，使得對任意的正整數(shù) ，都有 ；

④存在最大的正數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，都有．

其中真命題的序號是________________（請寫出所有真命題的序號）.

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