Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（x-a）|x-a|-x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=ax+1，x∈（-∞，a]，求不等式f（x）≥g（x）的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將函數(shù)f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，運(yùn)用一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，求得a的范圍，再求交集即可得到；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)不等式f（x）≥g（x），即有[x-（a+1）][2x-（a-1）]≥0，討論方程對(duì)應(yīng)兩根的大小，求出不等式的解集，最后加以總結(jié)即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知f(x)=

x2-(x-a)2-x，  x＞a x2-(x-a)(a-x)-x， x≤a

，
化簡(jiǎn)得：f(x)=

(2a-1)x-a2，   x＞a 2x2-(2a+1)x+a2， x≤a

，
由于（2a-1）a-a²=2a²-（2a+1）a+a²，
要使f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則有

2a-1＜0 2a+1 4 ≥a

，解得a＜

1

2

；
（Ⅱ）由（ I）知，當(dāng)x∈（-∞，a]時(shí)，f（x）=2x²-（2a+1）x+a²，
由g（x）=ax+1，則f（x）≥g（x）即f（x）-g（x）≥0，
即有2x²-（3a+1）x+a²-1≥0，
因式分解化簡(jiǎn)得：[x-（a+1）][2x-（a-1）]≥0（*）
（*）式所對(duì)應(yīng)方程的兩根為x₁=a+1，x2=

a-1

2

，
（ i）當(dāng)a+1＞

a-1

2

?a＞-3時(shí)，①若

a-1

2

≥a，即-3＜a≤-1時(shí)，x≤a；
②若

a-1

2

＜a，即a＞-1時(shí)，x≤

a-1

2

；
（ ii）當(dāng)a+1=

a-1

2

?a=-3時(shí)，x≤a；
（ iii）當(dāng)a+1＜

a-1

2

?a＜-3時(shí)，x≤a．
綜上所述：當(dāng)a≤-1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）的解集為{x|x≤a}；
當(dāng)a＞-1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）的解集為{x|x≤

a-1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．