Question

已知曲線y＝x³－x在點(diǎn)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)(x₁x₂≠1)處的切線l₁、l₂互相垂直，垂足為點(diǎn)C，且弦AB的斜率k＝，求證：點(diǎn)C在x軸上．

Answer 1

答案：
解析：

證明：設(shè)l1、l2分別交x軸于點(diǎn)(x3，0)、(x4，0)，∵=x2－1　∴l(xiāng)1：y－y1=(－1)(x－x1)，l2：y－y2=(－1)(x－x2)． 　　令y=0，得x3=，x4=， 　　x3－x4 ==·　�、� 　　∵l1⊥l2，∴(－1)(－1)=－1，　　　　　　　　　　　　 ② 　　－－=－2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③ 　�、�、③代入①，得x3－x4=(x1－x2)(2＋x1x2)　　　　　　　　　 ④． 　　∵k=，∴= 　　即(+＋x1x2)－3=1．由③得＋x1x2－2=0，即(x1x2＋2)(x1x2－1)=0． 　　∵x1x2≠1． 　　∴x1x2＋2=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤ 　�、荽�入④，得x3=x4，即l1與l2交x軸于同一點(diǎn)，故C在x軸上． 　　點(diǎn)評(píng)：一般地，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與斜率公式可分別把兩切線垂直、切點(diǎn)弦的斜率轉(zhuǎn)化為兩切點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，即把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系．當(dāng)直接 求兩切線交點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算量較大時(shí)，可根據(jù)相關(guān)式子的特征選擇“作差”法． 　　分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩切線垂直的條件，求出切線方程；(2)求切線與指定坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)由已知條件證得兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同．