點Pn（xn，yn）在曲線C：y=e-x上，曲線C在點Pn處的切線ln與x軸相交于點Qn（xn+1，0），直線tn+1：x=xn+1與曲線C相交于點Pn+1（xn+1，yn+1），（n=1，2，3，…）．由曲線C和直線ln，tn+1圍成的圖形面積記為Sn，已知x1=1．
（Ⅰ）證明：xn+1=xn+1；
（Ⅱ）求Sn關(guān)于n的表達式；
（Ⅲ）記數(shù)列{Sn}的前n項之和為Tn，求證：（n=1，2，3，…）．

【答案】分析：（Ⅰ）對函數(shù)y=e-x進行求導(dǎo)，推斷出切線ln的斜率，則可求得切線ln的方程把y=0代入即可求得，即xn+1=xn+1．
（Ⅱ）根據(jù)根據(jù)x1=1及（1）中的遞推式可求得xn，進而利用定積分的公式和性質(zhì)求得答案．
解答：（Ⅰ）證明：因為y=e-x，所以y'=-e-x，
則切線ln的斜率，所以切線ln的方程
為，令y=0，
得，即xn+1=xn+1
（Ⅱ）解：因為x1=1，所以xn=n，
所以
點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式及定積分的性質(zhì)與計算．考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q=f（P）．設(shè)P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一個圓，使所有的點Pn（xn，yn）（n∈N*）都在這個圓內(nèi)或圓上，那么稱這個圓為點Pn（xn，yn）的一個收斂圓．特別地，當P1=f（P1）時，則稱點P1為映射f下的不動點．若點P（x，y）在映射f下的象為點Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不動點的坐標；
（Ⅱ）若P1的坐標為（2，2），求證：點Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一個半徑為2的收斂圓．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，定義
xn+1=yn-xn
yn+1=yn+xn
（n∈N）為點Pn（xn，yn）到點Pn+1（xn+1，yn+1）的一個變換為“γ變換”，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）是經(jīng)過“γ變換”得到的一列點．設(shè)an=|PnPn+1|，數(shù)列{an}的前n項和是Sn，那么
lim
n→∞
Sn
an
的值為（　�。�
A、
2
B、2-
2
C、2
D、1+
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標系中，定義：(xn，yn)
11
1-1
=(xn+1，yn+1)，即
xn+1=xn+yn
yn+1=xn-yn
（n∈N*）為點Pn（xn，yn）到點Pn+1（xn+1，yn+1）的一個變換．我們把它稱為點變換（或矩陣變換）．已知P1（1，0）．
（1）求直線y=x在矩陣變換下的直線方程；
（2）設(shè)dn=|OPn|2（n∈N*），求證：dn為等比數(shù)列，并寫出dn的通項公式；
（3）設(shè)P2（x2，y2）…，Pn（xn+1，yn+1）（n∈N*）是經(jīng)過點變換得到的一列點．求數(shù)列xn，yn的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線x2-y2=8的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點Pn（xn，yn）（n=1，2，3…）在其右支上，且滿足|Pn+1F2|=|PnF1|，P1F2⊥F1F2，則x2012的值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•閔行區(qū)一模）在平面在直角坐標系中，定義
xn+1=yn-xn
yn+1=yn+xn
（n∈N*）為點Pn（xn，yn）到點Pn+1（xn+1，yn+1）的一個變換，我們把它稱為點變換．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）（n∈N*）是經(jīng)過點變換得到的一列點．設(shè)an=|PnPn+1|，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，那么S20的值為（　�。�

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