Question

如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA中點(diǎn)。

（1）求證：直線BD⊥平面OAC；

（2）求直線MD與平面OAC所成角的大��；

（3）求點(diǎn)A到平面OBD的距離。

Answer 1

解：方法一：以A為原點(diǎn)，AB，AD，AO分別x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A－xyz。

（1）∵＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)

∴＝0，＝－1＋1＝0

∴BD⊥AD，BD⊥AC，又AO∩AC＝A

故BD⊥平面OAC                                     

（2）取平面OAC的法向量＝(－1，1，0)，又＝(0，1，－1)

則：

∴＝60°

故：MD與平面OAC所成角為30°                

（3）設(shè)平面OBD的法向量為＝(x，y，z)，則

取＝(2，2，1)

則點(diǎn)A到平面OBD的距離為d＝    

方法二：（1）由OA⊥底面ABCD，OA⊥BD。

∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形

∴BD⊥AC  ∴BD⊥平面OAC                            

（2）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)E，連結(jié)EM，則∠DME是直線MD與平面OAC折成的角

∵M(jìn)D＝，DE＝

∴直線MD與平面OAC折成的角為30°                 

（3）作AH⊥OE于點(diǎn)H。

∵BD⊥平面OAC

∴BO⊥AH

線段AH的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OBD的距離。

∴AH＝

∴點(diǎn)A到平面OBD的距離為