Question

（本題滿分14分）已知圓：．
（Ⅰ）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；
（Ⅱ）過圓上一動點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動點(diǎn)的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

（Ⅰ）x=1，3x－4y+5=0,；（Ⅱ）（y≠0）軌跡為長軸長為8，短軸長為4，焦距為4且焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個端點(diǎn)

解析試題分析：（Ⅰ）由直線與圓位置關(guān)系得：半徑，半弦長，圓心到直線距離構(gòu)成勾股,即，因此d=1，又直線過點(diǎn)，故利用直線方程點(diǎn)斜式求解，注意先討論斜率不存在情況：若⊥x軸，直線方程為x=1，A(1,－)，B（1，），，適合；若的斜率存在，設(shè)的方程為y=k(x－1)+2，圓心到直線的距離為d=1=解得k=，直線方程為3x－4y+5=0,（Ⅱ）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程：先找出所求的與已知動點(diǎn)之間關(guān)系，代入已知動點(diǎn)軌跡，化簡即得所求動點(diǎn)軌跡方程：設(shè)M（，）（≠0）.則N（0，），Q（x，y），則 ，又，動點(diǎn)Q的軌跡方程為（y≠0）軌跡為長軸長為8，短軸長為4，焦距為4且焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個端點(diǎn)
試題解析：解：（Ⅰ）若⊥x軸，直線方程為x=1，A(1,－)，B（1，），，適合---3分
若的斜率存在，設(shè)的方程為y=k(x－1)+2，圓心到直線的距離為d=，圓半徑為2，故，k=，直線方程為3x－4y+5="0,"
綜上所求直線的方程為x=1，3x－4y+5=0,；
（Ⅱ）設(shè)M（，）（≠0）.則N（0，），Q（x，y），則
又，動點(diǎn)Q的軌跡方程為（y≠0）
軌跡為長軸長為8，短軸長為4，焦距為4且焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且去掉橢圓短軸的兩個端點(diǎn).----6分
考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系，軌跡方程