Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的圖象在處的切線方程；

（2）當時，求證：在上有唯一零點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）當時，函數，分別求出及的值，結合導數的幾何意義，可求出的圖象在處的切線方程；

（2）對函數求導，判斷單調性可知在上單調遞減，在上單調遞增，進而可知，然后構造函數，進而可證明，即，進而由，證明，又，結合單調性可知在上有唯一零點.

（1）當時，函數，定義域為.

則，則，.

故的圖象在處的切線方程為，即.

（2）證明：.

因為，令，得；令，得.

又，在上單調遞減，在上單調遞增.

所以.

令.

顯然在上單調遞減.

又.

所以，即.

.

令，

則.

令，則，所以在上單調遞增，

則，所以，，故，

所以在上單調遞增，，所以.

又，結合單調性可知在上有唯一零點，命題得證.