Question

（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知橢圓的長軸長為6，焦距F₁F₂=4

2

，過橢圓左焦點(diǎn)F₁作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè)∠F₂F₁M=α（0≤α＜π），當(dāng)α為何值時(shí)，MN與橢圓短軸長相等？（用極坐標(biāo)或參數(shù)方程方程求解）

Answer 1

分析：以橢圓焦點(diǎn)F₁為極點(diǎn)，以F₁為起點(diǎn)并過F₂的射線為極軸建立極坐標(biāo)系，由已知條件可知橢圓的極坐標(biāo)方程為 ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．據(jù)此能夠求出α的值．

解答：解：以橢圓焦點(diǎn)F₁為極點(diǎn)，
以F₁為起點(diǎn)并過F₂的射線為極軸建立極坐標(biāo)系
由已知條件可知橢圓長半軸a=3，
半焦距c=2

2

，短半軸b=1，
離心率e=

2 2

3

，中心到準(zhǔn)線距離=

9 2

4

，
焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p=

2

4

．
橢圓的極坐標(biāo)方程為 ρ=

ep

1-ecosθ

=

1

3-2 2 cosθ

∴|F1M|=ρ1=

1

3-2 2 cosα

．|F2N|=ρ2=

1

3+2 2 cosα

，
|MN|=ρ1+ρ2=

6

9-8cos2α

=2．
解得 cosα=±

2

2

．
∴α=

π

6

或 α=

5π

6

．
以上解方程過程中的每一步都是可逆的，
所以當(dāng) α=

π

6

或 α=

5π

6

時(shí)，|MN|等于短軸的長．

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、橢圓的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．