【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個菱形，三角形PAD是一個等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點E在線段PC上，且PE＝3EC．

（1）求證：AD⊥PB；

（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點,連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）取中點,連接,

由條件知均為等邊三角形，

因此,

而

由線面垂直定理可證,

又

即證

（2）由（1）知，

從而；

以建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)，則，，，

,

，

設(shè)面的法向量為

則 可得；

設(shè)面的法向量為

則 可得

由圖知二面角為銳角，

故二面角的余弦值為.

相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國已經(jīng)成為全球最大的電商市場，但是實體店仍然是消費者接觸商品和品牌的重要渠道.某機構(gòu)隨機抽取了年齡介于10歲到60歲的消費者200人，對他們的主要購物方式進行問卷調(diào)查.現(xiàn)對調(diào)查對象的年齡分布及主要購物方式進行統(tǒng)計，得到如下圖表：

主要購物方式

年齡階段

網(wǎng)絡(luò)平臺購物

實體店購物

總計

40歲以下

75

40歲或40歲以上

55

總計

（1）根據(jù)已知條件完成上述列聯(lián)表，并據(jù)此資料，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為消費者主要的購物方式與年齡有關(guān)？

（2）用分層抽樣的方法從通過網(wǎng)絡(luò)平臺購物的消費者中隨機抽取8人，然后再從這8名消費者中抽取5名進行答謝.設(shè)抽到的消費者中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：，其中.

臨界值表：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

（1）求實數(shù)的值；

（2）如果對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)一種機器的固定成本(即固定投入)為0.5萬元，但每生產(chǎn)100臺時，又需可變成本(即另增加投入)0.25萬元．市場對此商品的年需求量為500臺，銷售的收入(單位：萬元)函數(shù)為，其中是產(chǎn)品生產(chǎn)的數(shù)量(單位：百臺)．

(1)求利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)．

(2)年產(chǎn)量是多少時，企業(yè)所得的利潤最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標方程是，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是 (為參數(shù)).

（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）若直線與曲線相交于兩點，且，求直線的傾斜角的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年5月27日當(dāng)今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機大戰(zhàn)中中盤棄子認輸，至此柯潔與的三場比賽全部結(jié)束，柯潔三戰(zhàn)全負，這次人機大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.

（1）請根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關(guān)？

非圍棋迷

圍棋迷

合計

男

女

10

55

合計

（2）為了進一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生組隊參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學(xué)生出賽，若從5名學(xué)生中隨機抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】湖南省某自來水公司每個月（記為一個收費周期）對用戶收一次水費，收費標準如下：當(dāng)每戶用水量不超過30噸時，按每噸2元收�。划�(dāng)該用戶用水量超過30噸但不超過50噸時，超出部分按每噸3元收取；當(dāng)該用戶用水量超過50噸時，超出部分按每噸4元收取。

（1）記某用戶在一個收費周期的用水量為噸，所繳水費為元，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；

（2）在某一個收費周期內(nèi)，若甲、乙兩用戶所繳水費的和為214元，且甲、乙兩用戶用水量之比為3:2，試求出甲、乙兩用戶在該收費周期內(nèi)各自的用水量.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)使得，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是坐標平面內(nèi)一點，且， （為坐標原點）.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過該點？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

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