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19.己知向量m=3sinx41n=cosx4cos2x4,記.fx=m.n
(1)若cos({\frac{2π}{3}-x})=-\frac{1}{2},求f(x)=\overrightarrow m.\overrightarrow n的值;
(2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍.

分析 (1)求出f(x)解析式化簡,利用誘導公式和二倍角公式計算sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6});
(2)根據(jù)正弦定理將邊化角得出B,用A表示出C,根據(jù)銳角三角形求出A的范圍,代入f(x)解析式,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出f(A)的最值.

解答 解:(1)f(x)=\sqrt{3}sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}+cos2\frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})+\frac{1}{2}
cos({\frac{2π}{3}-x})=cos(π-(x+\frac{π}{3}))=-cos(x+\frac{π}{3})=-\frac{1}{2},
∴cos(x+\frac{π}{3})=\frac{1}{2}
∵cos(x+\frac{π}{3})=1-2sin2\frac{x}{2}+\frac{π}{6}),∴sin(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})=±\frac{1}{2}
∴f(x)=0或1.
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,
∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sinA.
∵sinA≠0,
cosB=\frac{1}{2},B=\frac{π}{3},
A+C=\frac{2π}{3},即C=\frac{2π}{3}-A
∵△ABC為銳角三角形,
0<{A}<\frac{π}{2}且 0<\frac{2π}{3}-A<\frac{π}{2}
\frac{π}{6}<{A}<\frac{π}{2},
\frac{π}{4}<\frac{A}{2}+\frac{π}{6}<\frac{5π}{12},\frac{{\sqrt{2}}}{2}<sin({\frac{A}{2}+\frac{π}{6}})<\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}
又∵f(x)=\overrightarrow m\overrightarrow{•n}=sin({\frac{x}{2}+\frac{π}{6}})+\frac{1}{2},∴f(A)=sin({\frac{A}{2}+\frac{π}{6}})+\frac{1}{2}
∴函數(shù)f(A)的取值范圍是({\frac{{\sqrt{2}+2}}{2},\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}}{4}})

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,解三角形,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.

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