Question

已知函數(shù)f（x）=（-x²+ax+b）e^-x，a∈R
（1）若b=-a，求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=0，且f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)b=-a時(shí)，函數(shù)f（x）=（-x²+ax-a）e^-x，∴f^′（x）=[x²-（2+a）x+2a]e^-x=（x-a）（x-2）e^-x，令f^′（x）=0，則x=2或a．
①當(dāng)a=2時(shí)，f^′（x）=（x-2）²e^-x≥0，因此f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞2時(shí)，如表所示，函數(shù)在區(qū)間（-∞，2），（a，+∞）上單調(diào)遞增；在區(qū)間（2，a）上單調(diào)遞減；
③同理：當(dāng)a＜2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（-∞，a），（2，+∞）上單調(diào)遞增；在區(qū)間（a，2）上單調(diào)遞減．
（2）b=0，f（x）=（-x²+ax）e^-x，∴f^′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x．
∵f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，∴f^′（x）≤0，∴x²-（a+2）x+a≤0在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴，解得．
因此a的取值范圍為．
分析：（1）先解出f^′（x）=0，通過(guò)對(duì)a分類討論即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減?f^′（x）≤0，解出即可．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用對(duì)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．